Example 2. 昼夜時間の問題 Example 2.II9 p.99. Given the longitude of the sun(λʘ) and terrestrial latitude(i.e.'clima'), find the length of the day or night and the length of the seasonal hour. Example:　λʘ＝♐(240°,Sagittarius)28;18°.Place:Babylon(cf.IV11,p.212) 　　　　　　　What is the lengthof the night. We use the rising-time table(II8) for Rhodes(M=14 1/2h). 問題は「与えられた太陽の黄経と地上緯度の地点での昼夜の時間及び季節時間を求めよ。」です。 具体的に求めるのは、太陽が♐(240°,Sagittarius)28;18°にあるときのBabylonでの夜の時間です。 ただし計算は値が与えられているほぼ同緯度のRhodesを使います。 「Almagest」には以下の手順で緯度を約10°間隔で計算した結果の「Rising-times Table」が与えられています。 まずExample 1.と同じく(λ)から(δ)を計算します。 赤道座標と黄道座標の変換の式のうちのひとつは以下です。(「古天文学」p.85) sin(δ)＝cos(obl)×sin(β)＋sin(obl)×cos(β)×sin(λ) ここで、obl:黄道傾斜角,λ:黄道経度,β:黄道緯度,δ:赤道緯度 太陽の場合黄道経度,β＝0度なので前の項は消え、cos(β)＝0より、赤道緯度は次の式になる。 δ＝arcsin ( sin(obl)×sin(λ) ) -----(1) 次に高度の計算式から半日弧と呼ばれるものを計算します。(「古天文学」p.86-87,一部誤植あり) ALT:天体高度、α:赤道経度、φ:観測値緯度、LST:地方恒星時とすると、 ALT=sin(φ)×sin(δ)＋cos(φ)×cos(δ)×cos(α－LST) ここでH=α－LSTとし、ALT＝0°としてHを求めると、 H=arccos(－tan(φ)×tan(δ))-----(2) ここで求めたHは黄道経度がλの時の日出から南中までの時角を表します。15°で割れば昼間の半日の時間になるので半日弧と呼ばれます。 次にこの時のα:赤道経度を求めます。赤道座標と黄道座標の変換の式から、 cos(α)×cos(δ)＝cos(β)×cos(λ)より、β=0°なので α＝arccos(cos(λ)/cos(δ))-----(3) ただし、(3,象限では)：α＝360－arccos(cos(λ)/cos(δ)) 以上で求めた値より「Almagest」ではρを計算し、RisingTimeと呼んでいます。 ρ＝α－(H－90) -------(4) 　＝α－(α－LST－90) ＝LST－90-------(5) 従って地方恒星時(LST)は南中(子午線通過)を基準としてますが、ρは東90°の昇ってくる点(Rising Time)を基準にしていることが分かります。 例として、λ＝20°の時の昼間の時間は、λの20°及び20+180°のρの値を使い 昼間時間＝ρ(200°)－ρ(20°)＝204.24－12.59＝191.65 これはλ＝20°の半日弧＝95.82の２倍と同じになります。 なお観測値緯度(φ)=0°の場合、「Sphaera Recta」と呼ばれ、αと同じになります。 この表からλ＝♐(240°,Sagittarius)28;18°＝268.30°の場合の夜の時間を計算します。 夜間時間は先の場合と順番を逆に計算します。 夜間時間＝ρ(268.30°)－ρ(268.30°+180°)＝ρ(268.30°)－ρ(88.30°) ＝(277.48＋(288.74－277.48)×8.3/10.0)－(60.70＋(71.26－60.70)×8.3/10.0) ＝286.826－69.465＝217.361 従って、夜間の時間＝217.361/15.0＝14.49(14;29h) 季節時間の時角＝217.361/12.0＝18;07°【「Almagest」本文では18°】 また季節時間＝14.49/12＝1.208(1;12,27h) 「Sphaera Recta」(φ＝0°)から求める別の求め方も記載されており、 　Δ＝α(88.30°)－ρ(88.30°)＝79.09＋(90.0－79.09)×8.3/10.0－ρ(88.30°) 　　＝88.145－69.465＝18.68(半日弧の差) 　Δ/6=3.11＝3;07 季節時間の時角＝15.0＋3;07＝18;07°(88°は北にあるので） 　 【解説】 「Almagest」では日付を春分からの角度で表します。 例えば上記の例λ＝♐(240°,Sagittarius)28;18°＝268.30°は春分の日から 268.30°×(365/360日)＝272日目にあたります。 この日の「Rising-times」は Table(北緯φ＝36°の場合)から 日出時＝ρ(268.30°)＝286.826° λに180°加えた値は日没時になります。 日没時＝ρ(268.30°+180°)＝69.465°（＋360） 従って正午と正子(midnight)の値は 正午時＝(日出時　＋　日没時)/2＝(286.826°＋69.465°(＋360))/2＝358.146° 正子(midnight)時＝358.146°＋180°(＝15°×12時間)＝178.146° これは以下と同じになります。 正子(midnight)時＝(日没時＋翌日日出時)/2＝(日没時＋日出時＋360°)/2＝正午時＋180° 従ってこの日の日出/日没の時刻は平均時刻で 日出時刻＝（日出時－正子）/15°＝(286.826－178.146)/15＝108.68/15＝7.245(7;15am) 日没時刻＝（日没時－正子）/15°＝(69.465°(＋360)－178.146)/15＝251.319/15＝16.755(16;45pm) Rising-times Tableの計算(φ=36°の場合) λ δ H (半日弧) H-90 α ρ (α-(H-90)) (LST-90) 0 0.00 90.00 0.00 0.00 0.00 10 4.03 92.93 2.93 9.16 6.23 20 7.95 95.82 5.82 18.41 12.59 30 11.67 98.63 8.63 27.84 19.21 40 15.07 101.28 11.28 37.50 26.22 50 18.05 103.69 13.69 47.46 33.77 60 20.50 105.76 15.76 57.74 41.97 70 22.34 107.37 17.37 68.30 50.93 80 23.47 108.39 18.39 79.09 60.70 90 23.86 108.74 18.74 90.00 71.26 100 23.47 108.39 18.39 100.91 82.52 110 22.34 107.37 17.37 111.70 94.33 120 20.50 105.76 15.76 122.26 106.50 130 18.05 103.69 13.69 132.54 118.84 140 15.07 101.28 11.28 142.50 131.22 150 11.67 98.63 8.63 152.16 143.54 160 7.95 95.82 5.82 161.59 155.76 170 4.03 92.93 2.93 170.84 167.91 180 0.00 90.00 0.00 180.00 180.00 190 -4.03 87.07 -2.93 189.16 192.09 200 -7.95 84.18 -5.82 198.41 204.24 210 -11.67 81.37 -8.63 207.84 216.46 220 -15.07 78.72 -11.28 217.50 228.78 230 -18.05 76.31 -13.69 227.46 241.16 240 -20.50 74.24 -15.76 237.74 253.50 250 -22.34 72.63 -17.37 248.30 265.67 260 -23.47 71.61 -18.39 259.09 277.48 270 -23.86 71.26 -18.74 270.00 288.74 280 -23.47 71.61 -18.39 280.91 299.30 290 -22.34 72.63 -17.37 291.70 309.07 300 -20.50 74.24 -15.76 302.26 318.03 310 -18.05 76.31 -13.69 312.54 326.23 320 -15.07 78.72 -11.28 322.50 333.78 330 -11.67 81.37 -8.63 332.16 340.79 340 -7.95 84.18 -5.82 341.59 347.41 350 -4.03 87.07 -2.93 350.84 353.77 360 0.00 90.00 0.00 360.00 360.00 2016/03/15 Up 2016/03/24 解説追記 Copyright(C) 2016 Shinobu Takesako All rights reserved