Example 10. 視差の計算問題




Example 10.V19 p.264
Computation of the parallax of the moon fo a given time, place, solar longitude and lunar longitude, latitude and elongation, from the table.
Example: time 2 1/2 equinoctial hour s after midnight (true local time Alexandria);
   λʘ: ♏(210°,Scorpio) 13;17°;λ:♍(150°,Virgo)21;30°;β:-2 1/6°
      (cf.VII3 p.336 and Example 9).


問題は「与えられた日時/場所における月の視差をを計算せよ。」です。
具体的には例題9の日時場所で計算します。
Date: Nabonassar 466, 7/8 Thoth[I](-282,Nov, 8/9) 2 1/2am at Alexandria.
(但し上記太陽/月の位置はAlmagest本文の値なので若干違ってきます。)


 【太陽と月の位置計算】
 まず上記の時刻で太陽と月の位置の計算をします。
  太陽: λʘ: ♏(210°,Scorpio) 13;19°(223.3122)
   月: λ: ♍(150°,Virgo)   21;57°(171.9566) β:-2;8°(-2.136)
       α:196.2543°   η:305.6502°

 【月の天頂からの位置計算】
  視差を計算するためには天頂からの角度が必要となるので、以下の手順で計算します。
  1.Horoscope(riging point)の計算(Example 4の方法)
  2.天頂(LST)の位置計算(Example 5の方法)
  3.LSTと月の位置の差から天頂からの角度を計算する。

  [1.Horoscope(riging point)の計算(Example 4の方法)]
  日出時のH:ρ(223;19°)    =230.5081°
  日没時のH:ρ(223;19°+180°) =31.0941°
  従って正午のH=(230.5081+(31.0941+360.0))/2.0=310.8011
  H at2.5am= H at 正午+15.0°×14.5h=310.8011+217.58 (-360)=168.3011°
  ρ(λ)=168.30°

  [2.天頂(LST)の位置計算(Example 5の方法)]
  α(LST)=ρ(λ)-90.0=168.30-90.0=78.30°

  [3.LSTと月の位置の差から天頂からの角度を計算する。]
  天頂からの角度=α(λ)-α(LST)
         =α(171.9566)-α(LST)
         =170;50+(180-170;50)/10×1.9533 - 78.30
         =172.62-78.30=94.32
  ①天頂からの時角=94.32/15.0=6.2888(6;17h) east=12h-6;17h=5;43am
  ②月の位置: λ: ♍(150°,Virgo) 21;57°

  [zenith distance and ecliptic angleを求める]
  この2つの値でII 13 Table of zenith distance and ecliptic angleからArcとAngleを読みます。
  この表は緯度毎に用意されていてこれは緯度30°近辺用です。
  
  まず♍(150°,Virgo)から5;43hの値を比例で求めます。
  Hour   Arc     Angle
  5;32   90;0    169;55
  6;00   84;7    171; 5
  5:43   87.689  170.375
  
  ♎(180°,Libra)は6時以前はないので6時の値を使います。
  Hour   Arc     Angle
  5:43   90;0     173;29

  これより♍(150°,Virgo) 21;57°at 5:43amの値を比例で求めます
  λ     Arc     Angle
  150    87.689  170.375
  180    90.0    173.483
  171.96  89.38   172.65

  注:Arc=90°は月が水平線上にあることになる。
  
  [zenith distance and ecliptic angleの補正値を求める]
  以上でzenith=89.38°、angle=172.65が得られました。
  これを次の式で補正して行きます。
  ここで使うchordは数表で与えられますが、現代式で書くと[Chord = 120 × sin (Arc/2) ]です。
  ch1=chord(2.0*(180.0-angle));
  ch2=chord(180.0-ch1);
  cr1=ch1*fabs(β)/120.0;
  cr2=ch2*fabs(β)/120.0;
  zenith2=sqrt( (zenith+cr1)*(zenith+cr1)+cr2*cr2 );
  if(zenith2>90.0)zenith2=90.0;
  cr3=cr2*120.0/zenith2;
  cr4=asin(cr3/120.0);
  angle2=angle-cr4;

  計算結果は、
  ch1= 15.359 ch2= 118.924 cr1= 0.273 cr2= 2.117 zenith2 = 89.696
  cr3 = 2.832 cr4 = 1.352 angle2 = 171.294
  となります。
  
  [zenith2、α及びηParallax Tableから数値を読み取ります。]
  zenith2 = 89.696より、
  col2 = 0.0475, col3 = 0.893, col4 = 0.171, col5 = 1.316, col6 = 0.416

  パラメータ(360-α)/2= 81.8729より、
  col7 = 0.977, col8 = 0.975
  注:αについては記述は無いがとりあえず以下で計算している。
    if(α>=180.0) arg_ano=(360.0-α)/2.0;
     else arg_ano=(180.0-α)/2.0;

  パラメータ(360-η)= 54.3498より、
  col9= 0.7060
  注:η(eta)については記述は無いがとりあえず以下で計算している。
    if(eta>=270.0)arg_eta=360.0-eta;
      else if(eta<270.0 && eta>=180.0)arg_eta=eta-180.0;
      else if(eta<180.0 && eta>=90.0)arg_eta=180.0-eta;
      else arg_eta=eta;
  
  [結果をもとに以下の計算式で視差を計算する。]
   para_syz =col3+col4*col7= 0.893+0.171× 0.977=1.060
   para_quad =col5+col6*col8=1.316+0.416× 0.975=1.722
   para_delta=para_quad-para_syz=1.722-1.06=0.662
   para=para_syz+para_delta*col9=1.060+0.662×0.7060=1.527(1;32):合計の視差
  
  [angle2を使い黄経方向(lon)と黄緯方向(lat)を計算する。]
  angle2 は90°以上の場合180°から引く。angle2=180- 171.294=8.706
  para_lon=para×cos(angle2)=1.527×cos(8.706)=1.5094(+1;31)
  para_lat=para×sin(angle2)=1.527×sin(8.706)=0.2311(-0;13,52)
  
  注1:視差の符号は黄経方向の天頂から東が正、西が負。黄経方向は北緯30°では常に負。
  注2:プトレマイオスの時代はsin/cosの代わりにchordを使って計算していたが結果はほぼ同じ。
  
  【例題10では +1;31°,-0;13 1/2°。「Almagest」本文では +1;0°,-0;5°】
  「古天文学」の計算方法ではlon:約60分、lat:約-8.5分
   (本文の方が近いですね。"+para_delta*col9"が余計なような。)


 【日食時の視差の計算】(2016/03/23 追記)
 「Ptolemy's Almagest」の271頁には注記(85)があって日食の時はcol.3とcol.4から取るとあって
 実際例題12の日食の計算では以下の手順で計算しています。

 Total parallax of the sun:  s_para= col2 =0.0475
 Total parallax of the moon: m_para= col3 + col4 =0.893+0.171=1.064
 Difference in parallax:    para= m_para - s_para = 1.064 - 0.0475=1.0165
 このあとは同じ手順で、
  para_lon=para×cos(angle2)=1.0165×cos(8.706)=1.0048(+1;0)
  para_lat=para×sin(angle2)=1.0165×sin(8.706)=0.1539(-0;9,14)
 こちらの方が現代の計算に近いですね。


2016/03/21 Up
2016/03/23 追記
2016/03/24 修正

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