Example 11.
Given year and month, computation lunar eclipse.
Example:
Date: Nabonassar 28, Thoth[I] (cf.V9 p.191-2.)
問題は「Nabonassar 28年1月(-719/3/8)の月食を計算せよ。」です。
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「Almagest」には太陽と月の黄経が一致する日時とその時のパラメータの表があります。
「IV3. Table of conjunction and oposition」 (「Ptolemy's Almagest」p.278-80)
しかし、直接計算する方がプログラム的には簡単なので直接計算します。
【経合日時の計算】
EXample 7及び9より太陽と月の経度の計算はそれぞれ以下となります。
パラメータ 平均速度 初期値(Epoch) 変動分(加減差)
太陽： λʘ ＝ (0;59,8,17,13,12,31°) ×day ＋ 330;45（265;15＋ 65;30）＋ θ
月： λ☽ ＝ (13;10,34,58,33,30,30°) ×day ＋ 41;22 ＋ c
月食の時にはλʘ ＋180°＝λ☽ となります、従って
(0;59,8,17°)×day ＋ 330;45＋ θ＋180＝(13;10,34,58°)×day ＋41;22＋ c
これよりdayを求める。
day×((13;10,34,58,33°)－(0;59,8,17,13°))＝469；23＋ θ－c＝109；23＋ θ－c ＋360×n
day＝109；23/(12;11,26,41,20=12.1907469)＋360.0/12.1907469×n＋ (θ－c)/12.1907469
＝8.9726523＋29.5305942×n＋ (θ－c)/12.1907469 -------(1)
これにより最初の経合は8.97日目(日付は+1日)にあり、その後約29.53日毎に起こる
ことが分かります。また毎回 (θ－c)/12.1907469 ずれます。
ここで例題に戻ると、Nabonassar 28年1月1日は暦元から365×27日です。したがって、
365×27≦8.9726523＋29.5305942×n となる最小の整数のnをもとめれば経合の日となります。
333.42≦n 従ってn=334
経合の日＝8.9726523＋29.5305942×n＝8.9726523＋29.5305942×334＝9872.191115
日付＝9872.191115－365×27＋1＝18.191115（Nabonassar 28年1月18日4;35pm）
【例題11の表から求めた値も28/1/18 4;35pm】
【経合時刻の計算】
次に例題では経合の表から読み取ったκ、α、
ωの値をもとに、(θ－c)/12.19075をもとめています。
ここではイスラム天文学の方法で直接計算します。方法としては、当日正午と翌日正午の
太陽と月の位置から黄経の差分Δλと月が太陽を捕らえる実質速度(ν)を計算すると
Δλ＝太陽黄経＋180－月黄経 -----------(2)
ν ＝（翌日月黄経－当日月黄経）－ （翌日太陽黄経－当日太陽黄経）-----------(3)
正午からの経合の時刻＝Δλ/ν -----------(4)
となります。
太陽位置(+180°) 月の位置
Nabonassar 28年1月18日正午 343.2946° 338.1569°
Nabonassar 28年1月19日正午 344.2735° 350.0147°
Δλ＝太陽黄経－(月黄経＋180)＝343.2946－338.1569＝5.1377°
ν ＝(翌日月黄経－当日月黄経）－ （翌日太陽黄経－当日太陽黄経）
＝(350.0147－338.1569）－ （344.2736－343.2946）
＝11.8578－ 0.9790 ＝10.8788(°/day)
正午からの経合の時刻＝Δλ/ν＝5.1377/10.8788×24.0＝11.3343(11;20pm)
(再度11.3343で計算すると－0.0176(1分3秒)となるので約1分の誤差を含む。)
【例題11の表から求めた値は11;06pm、本文は11;10pm】
ここで例題の回答【11:06pm】との誤差を検討すると、
まず例題では、(θ－c)を求め(θ－c)＝3;3°と計算しています。
またその時の月の速度を0;30,24°/時＝12.16/日とし、太陽の速度を相殺するために13/12をかけて
経合の時刻＝Δλ/ν＝(3;3°)×13/12×(12.16/24)＝6.5214(6;31)
従って正午からの時刻＝4;35＋6;31＝11;06pmとしています。
ここで違うのは月の時速を(4:35pm)時点の速度を使っていることで
12.16×12/13＝11.22°/日と上記で求めた平均速度より3%程度早いことが差になって出ています。
この方法でも、もう一回計算すると真値に近づくと思います。
ちなみに上記で求めた平均速度で計算すると、
経合の時刻＝Δλ/ν＝(3;3°)×(10.88/24)＝6.728(6;44)
正午からの時刻＝4;35＋6;44＝11;19pmとなり上記の計算より真値に近づいています。
【均時差の計算】
ここで均時差を計算し加える必要があります。
暦元からの日数が9872日なのでこれで計算すると約2.7分＝3分となり
合計で経合の時刻は正午より11;20+0;3＝11;23pmとなります
「Ptolemy's Almagest」の例題ではこの計算をしていません。
例題で「Almagest」との差が11;10－11;06＝4分あるのはこの差の可能性があります。
【月食諸元の計算】
ここで月食諸元の計算の計算のために経合時刻での月のωとαの計算をしておきます。
[11;23pm]において、ω= 279.6065、α＝12.5248です。
最初にωをパラメータとしてGreat Distance及びLeast Distanceから値を読みます。
さらにαをパラメータとしてCorrectionから値を読みます。
[Great Distance at ω= 279.6065°]
食分[digit(3)]＝3－(3-2)/(279;48－279;18)×(279.6065－279;18)
＝3－1/(0;30)×0.3065＝3－0.613＝2.387
食継続時間[mintes of Immersion(4)]
＝28;41－(28;41-23;43)/(279;48－279;18)×(279.6065－279;18)
＝28;41－4;58/(0;30)×0.3065＝28;41－3.0446＝25.639
[Least Distance at ω= 279.6065°]
食分[digit(3)＝5－(5-4)/(279;56－279;22)×(279.6065－279;22)
＝5－1/(0;34)×0.240＝5－0.424＝4.576
食継続時間[mintes of Immersion(4)]
＝40;42＋(40;42-36;53)/(279;56－279;22)×(279.6065－279;22)
＝40;42－3;49/(0;34)×0.240＝40;42－1.6165＝39.084
[Correction at α= 12.5248°]
Correction＝0;42＋(1;42-0;42)/(6.0)×(12.5248－12.0)＝0;42＋1×0.5248/6.0＝0.7875（分）
以上の結果をもとに計算すると、
食分＝2.387＋(4.576－2.387)×0.7875/60.0＝2.387＋0.029＝2.416
食継続時間(分角)＝25.639＋(39.084－25.639)×0.7875/60.0＝25.639＋0.176＝25.815（分角）
食継続時間(分)＝食継続時間(分角)/速度(ν)＝25.815/(10.88/24)＝56.945＝0;57(分)
【例題11の値も57分】
【月食計算のまとめ】
以上の計算により、
月食開始：10;26pm
(11;23－0;57)
食甚時刻：11;23pm
月食復末： 0;20am
(11;23＋0;57)
食分 ：約2 1/2
【G.J.Toomerの結果： 部分食開始： 10:9pm 食甚： 11:6pm 復末： 12:3am 食分：約2 1/2】
この月食(-719/3/8)は現代の計算(Lmapwin)でアレキサンドリアにおいて、
部分食開始： 9:51pm 食甚： 10:32pm 復末： 11:13pm 食分：0.114
(時刻はLMT、均時差(3－18=約－15分)補正済)
従って少なくともプトレマイオスの時代(AD100年前後)にはBC８世紀の月食も計算できていた。
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